Question

【题目】在△ABC中，AB、AC边的垂直平分线分别交BC边于点M、N．

(1)如图①，若△AMN是等边三角形，则∠BAC=　 　°；

(2)如图②，若∠BAC=135°，求证：BM2+CN2=MN2．

(3)如图③，∠ABC的平分线BP和AC边的垂直平分线相交于点P，过点P作PH垂直BA的延长线于点H．若AB=4，CB=10，求AH的长．

Answer 1

【答案】1200

【解析】

（1）先求出∠AMN=60°，再利用垂直平分线求出∠B=30°，同理求出∠C=30°，最后利用三角形内角和定理即可得出结论；

（2）先判断出∠B+∠C=45°，进而求出∠MAN=90°，即可得出结论；

（3）先判断出Rt△APH≌Rt△CPE，进而判断出Rt△BPH≌Rt△BPE，即可得出结论．

解：（1）如图①，∵△AMN是等边三角形，

∴∠AMN=60°，

∵MG是AB的垂直平分线，

∴AM=AM，

∴∠B=∠BAM=30°

同理：∠C=30°，

∴∠BAC=180°-∠B-∠C=120°

故答案为120；

（2）如图①，连接AM、AN

∵∠BAC=135°

∴∠B+∠C=45°，

又∵点M在AB的垂直平分线上

∴AM=BM

∴∠BAM=∠B，

同理AN=CN，∠CAN=∠C

∴∠BAM+∠CAN=45°

∴∠MAN=90°，

∴AM2+AN2=MN2；

∴BM2+CN2=MN2；

（3）如图②，连接AP、CP，过点P作PE⊥BC于点E

∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC

∴PH=PE

∵点P在AC的垂直平分线上

∴AP=CP

在Rt△APH和Rt△CPE中

∴Rt△APH≌Rt△CPE

∴AH=CE，

∵BP平分∠ABC，PH⊥BA，PE⊥BC

∴∠HBP=∠CBP，∠BHP=∠BEP=90°

∵BP=BP

∴Rt△BPH≌Rt△BPE

∴BH=BE，

∴BC=BE+CE=BH+CE=AB+2AH

∴AH=（BC-AB）÷2=3．