Question

【题目】如图，已知直线y=﹣2x+12分别与y轴，x轴交于A，B两点，点M在y轴上，以点M为圆心的⊙M与直线AB相切于点D，连接MD．

（1）求证：△ADM∽△AOB；

（2）如果⊙M的半径为2，请写出点M的坐标，并写出以（﹣， ）为顶点，且过点M的抛物线的解析式．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y=﹣2（x+）2+．

【解析】试题分析：（1）由AB为圆M的切线，利用切线的性质得到一对角为直角，再由公共角，利用两对角相等的三角形相似即可得证；

（2）设M（0，m），表示出AM，求出DM的长，利用勾股定理求出AB的长，由三角形相似得比例，求出m的值，求出M坐标，设出抛物线顶点形式，把M坐标代入求出即可．

试题解析：（1）证明：∵AB是⊙M切线，D是切点，

∴MD⊥AB，

∴∠MDA=∠AOB=90°，

又∠MAD=∠BAO，

∴△ADM∽△AOB；

（2）解：设M（0，m），

由直线y=2x+12得，OA=12，OB=6，

则AM=12﹣m，DM=2，

在Rt△AOB中，AB===6，

∵△ADM∽△AOB，

∴，即，

解得：m=2，

∴M（0，2），

设顶点为（﹣， ）的抛物线解析式为y=a（x+）2+，

将M点坐标代入，得a（0+）2+=2，

解得：a=﹣2，

则抛物线解析式为y=﹣2（x+）2+．