Question

【题目】如图所示，△ABC中，∠A=90°，D是AC上一点，且∠ADB=2∠C，P是BC上任一点，PE⊥BD于点E，PE⊥AC于点F，下列结论：
①△DBC是等腰三角形；②∠C=30°；③PE+PF=AB；④PE2+AF2=BP2 ．
其中结论正确的序号是（ ）

A.只有①②③
B.只有①③④
C.只有②④
D.①②③④

Answer 1

【答案】B
【解析】解：在△BCD中，∠ADB=∠C+∠DBC，
∵∠ADB=2∠C，
∴∠C=∠DBC，
∴DC=DB，
∴△DBC是等腰三角形，故①正确；
无法说明∠C=30°，故②错误；
连接PD，则S△BCD= BDPE+ DCPF= DCAB，
∴PE+PF=AB，故③正确；
过点B作BG∥AC交FP的延长线于G，
则∠C=∠PBG，∠G=∠CFP=90°，
∴∠PBG=∠DBC，四边形ABGF是矩形，
∴AF=BG，
在△BPE和△BPG中，
，
∴△BPE≌△BPG（AAS），
∴BG=BE，
∴AF=BE，
在Rt△PBE中，PE2+BE2=BP2 ，
即PE2+AF2=BP2 ， 故④正确．
综上所述，正确的结论有①③④．
故选B．

【考点精析】通过灵活运用勾股定理的概念，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2即可以解答此题．