Question

【题目】如图，AB是半圆O的直径，AB=a，C是半圆上一点，弦AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连接CD，DB，OD．

（1）求证：△CDF≌△BDE；

（2）当AD= 时，四边形AODC是菱形；

（3）当AD= 时，四边形AEDF是正方形．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）四边形AODC是菱形（3）OD⊥AB

【解析】

试题分析：（1）根据角平分线的性质，可得DF与DE的关系，根据圆周角定理，可得DC与DB的关系，根据HL，可得答案；

（2）根据菱形的性质，可得OD与CD，OD与BD的关系，根据正三角形的性质，可得∠DBA的度数，根据三角函数值，可得答案；

（3）根据圆周角定理，可得OD⊥AB，根据勾股定理，可得答案．

试题解析：（1）证明：∵弦AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，

∴DE=DF．

∵弦AD平分∠BAC，

∴∠FAD=∠BAD，

∴BD=CD．

在Rt△BED和Rt△CFD中，

∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL）；

（2）四边形AODC是菱形时，

OD=CD=DB=OB，

∴∠DBA=60°，

∴AD=ABcos∠DBA=asin60°=a，

（3）当OD⊥AB，即OD与OE重合时，四边形AEDF是正方形，

由勾股定理，得

AD=，