Question

【题目】（1）已知△ABC是等腰三角形，其底边是BC,点D在线段AB上，E是直线BC上一点，且∠DEC=∠DCE,若∠A等于60°（如图①）.求证：EB=AD；

（2）若将（1）中的“点D在线段AB上”改为“点D在线段AB的延长线上”，其他条件不变（如图②），（1）的结论是否成立，并说明理由。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）作DF∥BC交AC于F，由平行线的性质得出∠ADF=∠ABC，∠AFD=∠ACB，∠FDC=∠DCE，证明△ABC是等边三角形，得出∠ABC=∠ACB=60°，证出△ADF是等边三角形，∠DFC=120°，得出AD=DF，由已知条件得出∠FDC=∠DEC，ED=CD，由AAS证明△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论；

（2）作DF∥BC交AC的延长线于F，同（1）证出△DBE≌△CFD，得出EB=DF，即可得出结论.

试题解析：（1）证明：如图，作DF∥BC交AC于F，

则△ADF为等边三角形

∴AD=DF，又∵ ∠DEC=∠DCB，

∠DEC+∠EDB=60°，

∠DCB+∠DCF=60° ，

∴ ∠EDB=∠DCA ，DE=CD，

在△DEB和△CDF中，

∴△DEB≌△CDF，

∴BD=DF，

∴BE=AD .

(2). EB=AD成立；

理由如下：作DF∥BC交AC的延长线于F，如图所示：

同（1）得：AD=DF，∠FDC=∠ECD，∠FDC=∠DEC，ED=CD，

又∵∠DBE=∠DFC=60°，

∴△DBE≌△CFD（AAS），

∴EB=DF，

∴EB=AD.