Question

【题目】如图，⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D，与直角边AC相交于E，F两点，连结DE，已知∠B=30°，⊙O的半径为6，弧DE的长度为2π．

（1）求证：DE∥BC；
（2）若AF=CE，求线段BC的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OD、OE，

设∠EOD=n°，

∵弧DE的长度为2π，

∴2π= ，

∴n=60°，

∴△EOD是等边三角形，

∴∠ODE=60°，

∵AB是⊙O的切线，

∴∠ODA=90°

∴∠EAD=30°，

∴∠B=∠EAD，

∴ED∥BC，

（2）解：连接FD，

由（1）可知ED∥BC，

∴∠AED=∠C=90°，

∴由圆周角定理可知：FD是⊙O的直径，

∴∠AFD=30°，

∴cos∠AFD= ，DF=12

∴AF=8 ，

∵cos∠AFD= ，

∴EF=6 ，

∴CE=AF=8 ，

∴AE=CF=2 ，

∴AC=10 ，

∵tanB= ，

∴BC=30，

【解析】（1）根据弧长公式求出n的度数，得到△EOD是等边三角形，由AB是⊙O的切线，得到∠B=∠EAD，由平行线的判定方法得出ED∥BC；（2）由圆周角定理可知FD是⊙O的直径，由特殊角的函数值，求出EF、CE=AF、AE=CF、AC的值，由三角函数求出BC的值.