Question

【题目】如图，四边形ABCD是矩形，，，点P是对角线AC上的动点不与点A，C重合，连接PD，作交射线BC于点E，以线段PD，PE为邻边作矩形PEFD．

线段PD的最小值为______；

求证：，并求矩形PEFD面积的最小值；

是否存在这样的点P，使得是等腰三角形？若存在，请求出PE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） PE的长为或．

【解析】

如图1中，根据垂线段最短可知，当时，DP的值最小利用面积法即可解决问题；

如图2中，连接DE、PF交于点O，连接FC，首先证明D、P、E、C、F五点共圆，由∽，推出，即可解决问题；

分两种情形：点E在线段BC上，点E在线段BC的延长线上，分别求解即可解决问题；

解：如图1中，根据垂线段最短可知，当时，DP的值最小．

在中，，，

，

，

．

故答案为．

证明：如图2中，连接DE、PF交于点O，连接FC，OC．

四边形DPEF是矩形，

，

，

，

，

、P、E、C、F五点共圆，

是直径，

，

，

，

，

，

，

，

，

∽，

，

，

．

∴S矩形PEFD=PE·PD=PD2.

∵PD的最小值是，

∴矩形PEFD面积的最小值是=×()2=.

解：如图3中，设AC交DE于H．

当时，易证≌，

，

，

，

，

，

，

．

如图4中，

当时，，

，

在CD上取一点H，速度，则，设，则，，

，

，

，，

，

综上所述，PE的长为或．