【题目】如图，在Rt△ABC中，∠B=Rt∠,直角边AB、BC的长(AB＜BC)是方程 2－7 ＋12＝0的两个根．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿△ABC边 A→B→C→A的方向运动，运动时间为t(秒)．

（1）求AB与BC的长；
（2）当点P运动到边BC上时，试求出使AP长为 时运动时间t的值；
（3）点P在运动的过程中，是否存在点P，使△ABP是等腰三角形？若存在，请求出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．

参考答案：

【答案】
（1）

∵x2－7x＋12＝(x－3)(x－4)＝0 ∴x1＝3或x2＝4．则AB＝3，BC＝4.


（2）

由题意得AB2+BP2=AP2，则32+（t-3）2=10,

解得t1=4,t2=2（舍）.

即t=4时，AP=.


（3）

存在点P，使△ABP是等腰三角形.

①当AP＝AB＝3时，P在CC，则 t=3+4+5-3=9(秒).

②当BP＝BA＝3时，当P在AC上时， t= (秒)，

当P在BC上时， t=3+3=6 (秒)，

③当BP=AP (即P为AC中点)时， ∴t＝3+4+2.5=9.5(秒).

可知当t为9秒或9.5秒或6 (秒)或(秒)时，△ABP是等腰三角形.


【解析】（1）运用因式分解法求；
（2）由勾股定理构造方程，解出t的值；
（3）分类讨论：①当AP＝AB＝3时，②当BP＝BA＝3时，③当BP=AP.
【考点精析】通过灵活运用因式分解法和等腰三角形的性质，掌握已知未知先分离，因式分解是其次．调整系数等互反，和差积套恒等式．完全平方等常数，间接配方显优势；等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）即可以解答此题．

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