Question

【题目】如图1，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE，BG．

（1）求证：AE=BG
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转α（0°＜α≤360°）如图2所示，判断（1）中的结论是否仍然成立？如果仍成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC=DE=4，当旋转角α为多少度时，AE取得最大值？直接写出AE取得最大值时α的度数，并利用备用图画出这时的正方形DEFG，最后求出这时AF的值．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，点D是BC的中点，

∴AD⊥BC，BD=CD，

∴∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC=DB，

∵四边形DEFG是正方形，

∴DE=DG，

∴△ADE≌△BDG（SAS），

∴BG=AE；

（2）

解：成立；

理由如下：如图2，连接AD，

由（1）知AD=BD，AD⊥BC．

∴∠ADG+∠GDB=90°．

∵四边形EFGD为正方形，

∴DE=DG，且∠GDE=90°．

∴∠ADG+∠ADE=90°

∴∠BDG=∠ADE．

在△BDG和△ADE中，

∵BD=AD，∠BDG=∠ADE，GD=ED，

∴△BDG≌△ADE（SAS）

∴AE=BG；

（3）

解：α=270°；

正方形DEFG如图3所示

由（2）知BG=AE

∴当BG取得最大值时，AE取得最大值．

∵BC=DE=4，

∴EF=4，

∴BG=2+4=6

∴AE=6

在Rt△AEF中，由勾股定理，得

AF= = =2 ．

【解析】（1）在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG=AE；（2）连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG=AE；（3）根据（2）的结论，求BG的最大值，分析可得此时F的位置，由勾股定理可得答案．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和勾股定理的概念的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2．