Question

【题目】在菱形ABCD中，∠BAD＝60°

(1) 如图1，点E为线段AB的中点，连接DE、CE．若AB＝4，求线段EC的长

(2) 如图2，M为线段AC上一点（不与A、C重合），以AM为边向上构造等边三角形AMN，线段MN与AD交于点G，连接NC、DM，Q为线段NC的中点，连接DQ、MQ，判断DM与DQ的数量关系，并证明你的结论

(3) 在(2)的条件下，若AC＝，请你直接写出DM＋CN的最小值

Answer 1

【答案】（1）EC=2；（2）证明见解析；（3）2

【解析】

（1）如图1，连接对角线BD，先证明△ABD是等边三角形，根据E是AB的中点，由等腰三角形三线合一得：DE⊥AB，利用勾股定理依次求DE和EC的长；

（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，先证明△ADH是等边三角形，再由△AMN是等边三角形，得条件证明△ANH≌△AMD（SAS），则HN=DM，根据DQ是△CHN的中位线，得HN=2DQ，由等量代换可得结论．

（3）先判断出点N在CD的延长线上时，CN+DM最小，最小为CH，再判断出∠ACD=30°，即可用三角函数求出结论．

(1)如图1,连接BD,则BD平分∠ABC,

∵四边形ABCD是菱形,

∴AD∥BC,

∴∠A+∠ABC=180,

∵∠A=60,

∴∠ABC=120,

∴ABD是等边三角形,

∴BD=AD=4，

∵E是AB的中点,

由勾股定理得:DE=2,

∵DC∥AB,

∴∠EDC=∠DEA=90,

在RtDEC中,

EC=2

(2)如图2,延长CD至H,使CD=DH,连接NH、AH,

∵AD=CD,

∴AD=DH,

∵CD∥AB,

∴∠HDA=∠BAD=60,

∴ADH是等边三角形,

∴AH=AD, ∠HAD=60,

∵AMN是等边三角形,

∴AM=AN, ∠NAM=60,

∴∠HAN=∠DAM,

∴ANH≌AMD,

∴HN=DM,

∵D是CH的中点,Q是NC的中点,

∴DQ是CHN的中位线,

∴HN=2DQ,

∴DM=2DQ

(3) 如图2，由（2）知，HN=DM，

∴要CN+DM最小，便是CN+HN最小，

即：点C，H，N在同一条线上时，CN+DM最小，

此时，点D和点Q重合，

即：CN+DM的最小值为CH，

如图3，

由（2）知，△ADH是等边三角形，

∴∠H=60°．

∵AC是菱形ABCD的对角线，

∴∠ACD=∠BCD=∠BAD=30°，

∴∠CAH=180°-30°-60°=90°，

在Rt△ACH中，CH==2，

∴DM+CN的最小值为2．