Question

【题目】已知,如图A在x轴负半轴上，B（0，-4），点E（-6,4）在射线BA上，

(1) 求证：点A为BE的中点

(2) 在y轴正半轴上有一点F, 使 ∠FEA=45°，求点F的坐标.

(3) 如图，点M、N分别在x轴正半轴、y轴正半轴上，MN=NB=MA，点I为△MON的内角平分线的交点，AI、BI分别交y轴正半轴、x轴正半轴于P、Q两点, IH⊥ON于H, 记△POQ的周长为C△POQ.求证：C△POQ=2 HI.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】试题分析：（1）过E点作EG⊥x轴于G，根据B、E点的坐标，可证明△AEG≌△ABO，从而根据全等三角形的性质得证；

（2）过A作AD⊥AE交EF延长线于D，过D作DK⊥x轴于K，然后根据全等三角形的判定得到△AEG≌△DAK，进而求出D点的坐标，然后设F坐标为（0，y），根据S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD可求出F的坐标；

（3）连接MI、NI，根据全等三角形的判定SAS证得△MIN≌△MIA，从而得到∠MIN=∠MIA和∠MIN=∠NIB，由角平分线的性质，求得∠AIB=135°×3-360°=45°再连接OI，作IS⊥OM于S, 再次证明△HIP≌△SIC和△QIP≌△QIC，得到C△POQ周长.

试题解析：（1）过E点作EG⊥x轴于G，

∵B（0，-4），E（-6,4），∴OB=EG=4，

在△AEG和△ABO中，

∵

∴△AEG≌△ABO（AAS），∴AE=AB

∴A为BE中点

（2）过A作AD⊥AE交EF延长线于D，

过D作DK⊥x轴于K，

∵∠FEA=45°，∴AE=AD，

∴可证△AEG≌△DAK，∴D（1,3），

设F（0，y），

∵S梯形EGKD=S梯形EGOF+S梯形FOKD，

∴

∴

∴

（3）连接MI、NI

∵I为△MON内角平分线交点，

∴NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，

在△MIN和△MIA中，

∵

∴△MIN≌△MIA（SAS），

∴∠MIN=∠MIA，

同理可得∠MIN=∠NIB，

∵NI平分∠MNO，MI平分∠OMN，∠MON=90°，

∴∠MIN=135°∴∠MIN=∠MIA =∠NIB=135°，

∴∠AIB=135°×3-360°=45°，

连接OI，作IS⊥OM于S, ∵IH⊥ON，OI平分∠MON，

∴IH=IS=OH=OS，∠HIS=90°，∠HIP+∠QIS=45°，

在SM上截取SC=HP，可证△HIP≌△SIC，∴IP=IC，

∠HIP=∠SIC，∴∠QIC=45°，

可证△QIP≌△QIC，

∴PQ=QC=QS+HP，

∴C△POQ=OP+PQ+OQ=OP+PH+OQ+OS=OH+OS=2HI.