Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，点P、Q分别为BC、CD边上一点，且BP=CQ=BC，连接AP、BQ交于点G，在AP的延长线上取一点E，使GE=AG，连接BE、CE．∠CBE的平分线BN交AE于点N，连接DN，若DN=,则CE的长为_____．

Answer 1

【答案】

【解析】分析：首先得出∠AGB=90°，过点D作DM⊥AN于M，根据五点共圆的性质得出Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，然后根据DN的长度得出正方形的边长，根据△ABP的等积法得出BG的长度，然后根据△BGP和△CNP相似得出CN的长度，最后根据等腰直角三角形的性质得出CE的长度．

详解：∵BP=CQ，则△ABP≌△BCQ，∴∠AGB=90°，

连接CN，延长BN交CE于H． 过点D作DM⊥AN于M，

∴Rt△ADM≌Rt△ABG，DM=AG， ∵BN平分∠CBE，∴CH=HE，

∵∠CBN=∠EBN，BE=BC，BN=BN， ∴△BCN≌△BEN，

∴CN=NE，△CEN是等腰三角形，

延长AE交DC延长线于F，则有：∠BAG=∠BEG=∠CFE=∠BCN，

A，B，C，D，N五点共圆，∠AND=∠BNG=45°[AB弦所对圆周角=45°]

Rt△DMN，Rt△BGN都是等腰直角三角形，

∵DN=， ∴AB=MN=，根据△ABP的等积法可得：BG=，

∵△BGP∽△CNP，则CN=2BG=，则CE=．