Question

【题目】已知：菱形 ABCD，点 E 在线段 BC 上，连接 DE，点 F 在线段 AB 上，连接 CF、DF， CF 与 DE 交于点 G，将菱形 ABCD 沿 DF 翻折，点 A 恰好落在点 G 上．

（1）求证：CD=CF；

（2）设∠CED= x，∠DCF= y，求 y 与 x 的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）

（3）在（2）的条件下，当 x=45°时，以 CD 为底边作等腰△CDK，顶角顶点 K 在菱形 ABCD的内部，连接 GK，若 GK∥CD，CD=4 时，求线段 KG 的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）y=；（2）

【解析】

（1）根据翻折的性质得△DFG≌△DFA，从而推导得出∠FDC=∠DFG，进而得到CF=DC；

（2）在等腰△DGC和等腰△CFD中，可用y表示出∠GDC、∠FDC的值，从而求出∠ADF，根据∠ADE=∠DEC，得出y与x的关系式；

（3）先证△KCD是等腰直角三角形，根据CD的长得到KC的值，然后再△KGC中求得KG的值.

（1）∵将菱形ABCD沿DF翻折，点A恰好落在点G上

∴△DFG≌△DFA，∠AFD=∠FDC

∴∠AFD=∠DFG

∴∠FDC=∠DFG

∴CF=DC；

（2）∵AD=DG=DC=FC，∠DCF=y

∴在△DGC中，∠DGC=y，∠GDC=180－2y

在△CFD中，∠CFD=∠CDF=

∴∠FDG=∠FDC－∠GDC=

∴∠ADF=∠FDG=，∴∠ADE=3y－180

∵AD∥BC

∴∠ADE=∠DEC，即3y－180=x

化简得：y=；

（3）如下图，过点K作CD的垂线，交CD于点I，延长KG交BC于点L，过点C作GL的垂线，交GL于点Q，过点C作GD的垂线，交GD于点N，

∵x=45°，

∴y=75°，∠ADE=x=45°

∴∠DGC=∠DCG=75°，

∴∠NDC=30°，

∴∠ADC=45°+30°=75°，

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠B=75°，

∵KG∥DC，

∴KG∥AB，∠KGD=∠NDC=30°，

∴∠GLC=∠B=75°，∠KGC=30°+75°=105°，

∴∠LGC=75°，

∴∠CGL=∠CGN，

∴GC是∠LGN的角平分线，

∴CQ=CN，

∵CD=4，∠CDE=30°，

∴在Rt△CND中，CN=2，

∴CQ=2，

∵KG∥CD，

∴∠QKI=∠KIC=90°

∵CQ⊥KL

∴四边形CQKI是矩形，

∵CK=KD，KI⊥CD，

∴CI=ID=2，

∴CI=CQ=2，

∴矩形CQKI是正方形

∴IK=CQ=2，

∴在Rt△KIC中，CK=，

如下图，过点G作CK的垂线，交CK于点M，

∴△KGM是等腰直角三角形，△GMC是直角三角形，且∠C=30°，

设GM=x，

则在Rt△GKM中，KM=GM=x，

在Rt△GMC中，CG=2x，MC=x，

∴KC=x+x=，

解得：x=，

∴KG=.