【题目】已知：如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（6，0），AB=6，点 P 从点 O出发沿线段 OA 向终点 A 运动，点 P 的运动速度是每秒 2 个单位长度，点 D 是线段 OA 的中点．

（1）求点 B 的坐标；

（2）设点 P 的运动时间为点 t 秒，△BDP 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式；

（3）当点 P 与点 D 重合时，连接 BP，点 E 在线段 AB 上，连接 PE，当∠BPE=2∠OBP 时， 求点 E 的坐标．

参考答案：

【答案】（1）B(0，6)；（2）S=；（3）E(4，2)

【解析】

（1）在Rt△AOB中，利用勾股定理可求得OB的长，从而得到点B的坐标；

（2）存在2种情况，一种是点P在点D的左侧，一种是在右侧，求△PBD的面积，高始终是OB不变，仅需表示出PD的长即可；

（3）如下图，作∠BPE的角平分线PF，根据角之间的关系，可得到PF∥OB，从而推导出△PEG∽△PBO，最后利用相似比的关系求得线段的长度，从而得到E的坐标.

（1）∵A(6，0)，AB=6，△AOB是直角三角形

∴在Rt△AOB中，OB=

∴B(0，6)

（2）情况一：如下图，点P在点D的左侧，即时

在△BPD中，以PD为底，则BO是△BOD的高

∴高=BO=6，底=3－2t

∴S=

情况二：如下图，点P在点D的右侧，即时

在△BPD中，以PD为底，则BO是△BOD的高

∴高=BO=6，底=2t－3

∴S=

综上得：S=

（3）如下图，PF是∠PBE的角平分线，交AB于点F，过点E作x轴的垂线，交x轴于点G

∵OA=6，OB=6，AB=6

∴△OBA是等腰直角三角形，∠A=45°

∴△GEA是等腰直角三角形

设PG=x，则AG=3－x

∴EG=AG=3－x

∵PF是∠BPE的角平分线，∴∠BPF=∠FPE

∵∠BPE=2∠OBP

∴∠OBP=∠BPF=∠FPE

∴PF∥OB，∴PF⊥OA

∴∠FPE+∠EPG=90°

∵∠OBP+∠BPO=90°，∴∠EPG=∠BPO

∵∠EGP=∠BOP

∴△PEG∽△PBO

∴，即，解得：x=1

∴PG=1，GE=2

∴E(4，2)

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