Question

【题目】如图，已知A、B是⊙O上两点，△OAB外角的平分线交⊙O于另一点C，CD⊥AB交AB的延长线于D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）E为的中点，F为⊙O上一点，EF交AB于G，若tan∠AFE=，BE=BG，EG=3，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）连接OC，先证明∠OCB=∠CBD得到OC∥AD，再利用CD⊥AB得到OC⊥CD，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）解：连接OE交AB于H，如图，利用垂径定理得到OE⊥AB，再利用圆周角定理得到∠ABE=∠AFE，在Rt△BEH中利用正切可设EH=3x，BH=4x，则BE=5x，所以BG=BE=5x，GH=x，接着在Rt△EHG中利用勾股定理得到x2+（3x）2=（3）2，解方程得x=3，接下来设⊙O的半径为r，然后在Rt△OHB中利用勾股定理得到方程（r-9）2+122=r2，最后解关于r的方程即可．

（1）证明：连接OC，如图，

∵BC平分∠OBD，

∴∠OBD=∠CBD，

∵OB=OC，

∴∠OBC=∠OCB，

∴∠OCB=∠CBD，

∴OC∥AD，

而CD⊥AB，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线；

（2）解：连接OE交AB于H，如图，

∵E为的中点，

∴OE⊥AB，

∵∠ABE=∠AFE，

∴tan∠ABE=tan∠AFE=，

∴在Rt△BEH中，tan∠HBE=

设EH=3x，BH=4x，

∴BE=5x，

∵BG=BE=5x，

∴GH=x，

在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（3）2，解得x=3，

∴EH=9，BH=12，

设⊙O的半径为r，则OH=r-9，

在Rt△OHB中，（r-9）2+122=r2，解得r=，

即⊙O的半径为．