Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0），与y轴交于C（0，－3），顶点为点M．

（1）求抛物线的解析式及点M的坐标．

（2）点P是直线BC在y轴右侧部分图象上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△AOC相似，求符合条件的P点坐标．

（3）过点C作CD∥AB，CD交抛物线于点D，点Q是线段CD上的一动点，作直线QN与线段AC交于点N，与x轴交于点E，且∠BQE＝∠BDC，当CN的值最大时，求点E的坐标．

Answer 1

【答案】 （1）y＝x2－2x－3,M（1，－4）;（2）P1（，－），P2（3，0）;（3）E（－10，0）．

【解析】试题分析：（1）由抛物线经过的三个已知点，可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，把C点坐标代入求a的值；（2）连接MC，作MF⊥y轴于点F，构造出直角三角形，由直角三角形相似，对应边成比例分情况讨论即可；（3）先求出点D的坐标，可求出线段BD的值，由抛物线的轴对称性可得到△NCQ∽△QDB，利用相似三角形对应边成比例即可求解．

试题解析：（1）∵抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0），

∴设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)．

把（0，－3）代入y＝a(x＋1)(x－3)，解得a＝1．

∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3．

∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，

∴点M的坐标是（1，－4）．

（2）连接MC，作MF⊥y轴于点F，则点F坐标为（0，－4）．

∵MF＝1，CF＝－3－(－4)＝1，

∴MF＝CF，MC＝．

∴∠FCM＝∠FMC＝45°．

∵B（3，0），C（0，－3），∴OB＝OC＝3．

而∠BOC＝90°，∴∠OCB＝∠OBC＝45°．

∴∠MCB＝180°－∠OCB－∠FCM＝90°．

由此可知，∠MCP＝90°，则点O与点C必为相似三角形对应点．

过点P作PH⊥y轴于H．

①若有△PCM∽△AOC，则有＝．

∴CP＝＝＝．

∵∠PCH＝45°，CP＝，

∴PH＝CH＝÷＝．

∴OH＝OC－CH＝3－＝．

∴P1（，－）；

②若有△PCM∽△COA，则有＝．

∴CP＝＝＝．

∴PH＝CH＝÷＝3．此时，点P与点B重合．

∴P2（3，0）．

∴符合题意的P点坐标为P1（，－），P2（3，0）．

（3）过点Q作QG⊥x轴于点G．

设点E的坐标为（n，0），Q的坐标为（m，－3）．

∵CD∥x轴，

∴D的纵坐标为－3．

把y＝－3代入y＝x2－2x－3，

∴x＝0或x＝2．

∴D（2，－3）．

∵B（3，0），

∴由勾股定理可求得：BD＝．

∵Q（m，－3），

∴QD＝2－m，CQ＝m（0≤m≤2）．

∵∠BQE＝∠BDC，∠EQC＋∠BQE＝∠BDC＋∠QBD，

∴∠EQC＝∠QBD．

又由抛物线的轴对称性可知：∠NCQ＝∠BDC，

∴△NCQ∽△QDB．

∴＝．

∴＝．

∴CN＝－(m2－2m)＝－(m－1)2＋．

∴当m＝1时，CN可取得最大值．此时Q的坐标为（1，－3）．

∴QG＝3，BG＝2，QD＝1．

∴由勾股定理可求得：QB＝．

∵E（n，0），

∴EB＝3－n．

∵CD∥x轴，

∴∠BEQ＝∠NQC＝∠QBD，∠EBQ＝∠BQD．

∴△EQB∽△BDQ．

∴＝．

∴BQ2＝QDEB，即13＝1×(3－n)，

∴n＝－10．

∴E的坐标为（－10，0）．