Question

【题目】如图，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，4），连接AC，BC得到四边形AOBC，点D在边AC上，连接OD，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为点P，若点P到四边形AOBC较长两边的距离之比为1：3，则点P的坐标为__________________.

Answer 1

【答案】（，3）或（，1）或（2，﹣2）．

【解析】

由已知得出∠A=90°，BC=OA=4，OB=AC=8，分两种情况：

（1）当点P在矩形AOBC的内部时，过P作OB的垂线交OB于F，交AC于E，当PE：PF=1：3时，求出PE=1，PF=3，由折叠的性质得：OP=OA=4，∠OPD=∠A=90°．在Rt△OPF中，由勾股定理求出OF的长，即可得出答案；

②当PE：PF=3：1时，同理得P的坐标；

（2）当点P在矩形AOBC的外部时，此时点P在第四象限，过P作OB的垂线交OB于F，交AC于E，由PF：PE=1：3，则PF：EF=1：2，求出PF=2．在Rt△OPF中，由勾股定理求出OF的长，即可得出答案．

∵点A（0，4），B（8，0），C（8，4），∴BC=OA=4，OB=AC=8，分两种情况：

（1）当点P在矩形AOBC的内部时，过P作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示．

①当PE：PF=1：3时．

∵PE+PF=BC=4，∴PE=1，PF=3，由折叠的性质得：OP=OA=4．在Rt△OPF中，由勾股定理得：OF===，∴P（，3）；

②当PE：PF=3：1时，同理得：P（，1）；

（2）当点P在矩形AOBC的外部时，此时点P在第四象限，过P作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示．

∵PF：PE=1：3，则PF：EF=1：2，∴PF=EF=BC=2，由折叠的性质得：OP=OA=4．在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2，∴P（2，﹣2）；

综上所述：点P的坐标为（，3）或（，1）或（2，﹣2）．

故答案为：（，3）或（，1）或（2，﹣2）．