Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，为等边三角形，点坐标为，点为轴上位于点上方的一个动点，以为边向的右侧作等边，连接，并延长交轴于点.

(1)求证：；

(2)当点在运动时，是否平分？请说明理由；

(3)当点在运动时，在轴上是否存在点，使得为等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）平分，理由见解析（3）存在，Q（0，3），（0，1）．

【解析】

（1）根据等边三角形性质得出OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，求出∠OPB＝∠APC，证出△PBO≌△PCA即可；

（2）由（1）知∠POB＝∠PAC＝60゜，得到∠PAC＝∠OAP＝60゜，即可得到平分;

(3)①当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的正半轴上，求得OQ＝AE＋AO＝3，②当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的负半轴上，求得OQ＝AQAO＝1，③当EQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，x轴是AQ的垂直平分线，求得OQ＝AO＝1，即可得到结论．

（1）证明：∵△BPC和△AOP是等边三角形，

∴OP＝AP，BP＝PC，∠APO＝∠CPB＝60°，

∴∠APO＋∠APB＝∠BPC＋∠APB，

即∠OPB＝∠APC，

在△PBO和△PCA中，

，

∴△PBO≌△PCA （SAS）

∴OB＝AC．

（2）平分，理由如下：

由（1）知∠POB＝∠PAC＝60゜，

∴∠PAC＝∠OAP＝60゜，

∴平分;

（3）解：存在，

∵AE＝2AO＝2，

∴①当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的正半轴上，

∴OQ＝AE＋AO＝3，

∴Q（0，3），

②当AQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，点Q在y轴的负半轴上，

∴OQ＝AQAO＝1，

∴Q（0，1），

③当EQ＝AE＝2时，△AEQ为等腰三角形，x轴是AQ的垂直平分线，

∴OQ＝AO＝1，

∴Q（0，1）．

综上所述：在y轴上存在点Q，使得△AEQ为等腰三角形，Q（0，3），（0，1）．