Question

【题目】如图，将矩形OABC放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴的正半轴上，B（8，6），点D是射线AO上的一点，把△BAD沿直线BD折叠，点A的对应点为A′．

（Ⅰ）若点A′落在矩形的对角线OB上时，OA′的长=　 　；

（Ⅱ）若点A′落在边AB的垂直平分线上时，求点D的坐标；

（Ⅲ）若点A′落在边AO的垂直平分线上时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）6；（Ⅱ）D（8﹣2，0）；（Ⅲ）点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．

【解析】分析：（Ⅰ）由点B的坐标知OA=8、AB=6、OB=10，根据折叠性质可得BA=BA′=6，据此可得答案；

（Ⅱ）连接AA′，利用折叠的性质和中垂线的性质证△BAA′是等边三角形，可得∠A′BD=∠ABD=30°，据此知AD=ABtan∠ABD=2，继而可得答案；

（Ⅲ）分点D在OA上和点D在AO延长线上这两种情况，利用相似三角形的判定和性质分别求解可得．

详解：（Ⅰ）如图1，由题意知OA=8、AB=6，∴OB=10，由折叠知，BA=BA′=6，∴OA′=6．

故答案为：6；

（Ⅱ）如图2，连接AA′．

∵点A′落在线段AB的中垂线上，∴BA=AA′．

∵△BDA′是由△BDA折叠得到的，

∴△BDA′≌△BDA，∴∠A′BD=∠ABD，A′B=AB，

∴AB=A′B=AA′，∴△BAA′是等边三角形，

∴∠A′BA=60°，∴∠A′BD=∠ABD=30°，

∴AD=ABtan∠ABD=6tan30°=2，

∴OD=OA﹣AD=8﹣2，

∴点D（8﹣2，0）；

（Ⅲ）①如图3，当点D在OA上时．

由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=6，∠BAD=∠BA′D=90°．

∵点A′在线段OA的中垂线上，∴BM=AN=OA=4，∴A′M===2，

∴A′N=MN﹣A′M=AB﹣A′M=6﹣2，

由∠BMA′=∠A′ND=∠BA′D=90°知△BMA′∽△A′ND，

则=，即=，

解得：DN=3﹣5，

则OD=ON+DN=4+3﹣5=3﹣1，

∴D（3﹣1，0）；

②如图4，当点D在AO延长线上时，过点A′作x轴的平行线交y轴于点M，延长AB交所作直线于点N， 则BN=CM，MN=BC=OA=8，由旋转知△BDA′≌△BDA，∴BA=BA′=6，∠BAD=∠BA′D=90°．

∵点A′在线段OA的中垂线上，∴A′M=A′N=MN=4，

则MC=BN==2，∴MO=MC+OC=2+6，

由∠EMA′=∠A′NB=∠BA′D=90°知△EMA′∽△A′NB，

则=，即=，

解得：ME=，则OE=MO﹣ME=6+．

∵∠DOE=∠A′ME=90°、∠OED=∠MEA′，

∴△DOE∽△A′ME，

∴=，即=，

解得：DO=3+1，则点D的坐标为（﹣3﹣1，0）．

综上，点D的坐标为（3﹣1，0）或（﹣3﹣1，0）．