Question

【题目】如图：AD与⊙O相切于点D，AF经过圆心与圆交于点E、F，连接DE、DF，且EF=6，AD=4．
（1）证明：AD2=AEAF；
（2）延长AD到点B，使DB=AD，直径EF上有一动点C，连接CB交DF于点G，连接EG，设∠ACB=α，BG=x，EG=y． ①当α=900时，探索EG与BD的大小关系？并说明理由；
②当α=1200时，求y与x的关系式，并用x的代数式表示y．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OD

∵AD是⊙O的切线，

∴OD⊥AD，即∠ADE+∠EDO=90°，

∵EF是直径，

∴∠EDF=90°，即∠EDO+∠ODF=90°，

∴∠ADE=∠ODF，

∵OD=OF，

∴∠ODF=∠OFD，

∴∠ADE=∠OFD，

∴△ADE∽△AFD，

∴ ，

即AD2=AEAF；

（2）解：①当α=90°时，EG＞BD

理由如下：如图2，取EG的中点H，连接CH、DH、CD，

∵Rt△EDG、Rt△ECG，点H为EG的中点，

∴CH=EH=GH=DH= EG，

∴点C、E、D、G在以点H为圆心，EG为直径的圆上，

∴EG＞CD，

∵Rt△ABC，DB=AD，

∴CD=DB=AD= AB，

∴EG＞BD；

②当α=120°时，

如图3，将△ADE绕着点D旋转180°，得到△BDP，连接GP，过点P作PQ⊥BG，

由（1）AD2=AEAF得：16=AE（AE+6），

解得：AE=2或AE=﹣8（舍去），

∵△ADE≌△BDP

∴ED=DP，AE=BP=2，∠A=∠DBP，

∵∠EDF=90°，

∴DG垂直平分EP，

∴GE=GP=y，

∵∠A+∠ABC=180°﹣120°=60°，

∴∠DBP+∠ABC=60°，即∠GBP=60°，

在Rt△BPQ中，∠GBP=60°，BP=2，

∴BQ=1，PQ= ，

∴GQ=BG﹣BQ=x﹣1，

在Rt△GPQ中，PQ= ，GQ=x﹣1，GP=y，

∴PG2=GQ2+PQ2

即y2=（x﹣1）2+（ ）2，

故y= ．

【解析】（1）直接利用切线的性质得出∠ADE+∠EDO=90°，再利用圆周角定理得出∠ADE=∠ODF，结合相似三角形的判定与性质得出答案；（2）①利用直角三角形的性质得出点C、E、D、G在以点H为圆心，EG为直径的圆上，进而得出EG与BD的大小关系；②首先得出BQ=1，PQ= ，GQ=BG﹣BQ=x﹣1，进而利用勾股定理求出答案．