Question

【题目】如图，已知，直线分别与、交于点、点.

（1）如图1，当点在线段上，若，，则__________°；

（2）如图2，当点在线段的延长线上，与交于点，则、、之间满足怎样的关系，请证明你的结论；

（3）如图3，在（2）的条件下，平分，交于点，射线将分成，且与交于点，若，，求的度数.

Answer 1

【答案】（1）70；（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．理由见解析；（3）∠EKD=142°．

【解析】

（1）延长DE交AB于H，依据平行线的性质，可得∠D=∠AHE=40°，再根据∠AED是△AEH的外角，即可得到∠AED=∠A+∠AHE=30°+40°=70°；
（2）依据AB∥CD，可得∠EAF=∠EHC，再根据∠EHC是△DEH的外角，即可得到∠EHG=∠AED+∠EDG，即∠EAF=∠AED+∠EDG；
（3）设∠EAI=α，则∠BAE=3α，进而得出∠EDK=α-2°，依据∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，可得3α=22°+2α-4°，求得∠EDK=16°，即可得出∠EKD的度数．

解：（1）如图1，延长DE交AB于H，

∵AB∥CD，
∴∠D=∠AHE=30°，
∵∠AED是△AEH的外角，
∴∠AED=∠A+∠AHE=40°+30°=70°，
故答案为：70；

（2）∠EAF=∠AED+∠EDG．
理由：如图2，

∵AB∥CD，

∴∠EAF=∠EHC，
∵∠EHC是△DEH的外角，
∴∠EHG=∠AED+∠EDG，
∴∠EAF=∠AED+∠EDG；

（3）如图3，

∵∠EAI：∠BAI=1：2，
∴设∠EAI=α，则∠BAE=3α，
∵∠AED=22°，∠I=20°，∠DKE=∠AKI，
又∵∠EDK+∠DKE+∠DEK=180°，∠KAI+∠KIA+∠AKI=180°，
∴∠EDK=α-2°，
∵DI平分∠EDC，
∴∠CDE=2∠EDK=2α-4°，
∵AB∥CD，
∴∠EHC=∠EAF=∠AED+∠EDG，
即3α=22°+2α-4°，
解得α=18°，
∴∠EDK=16°，
∴在△DKE中，∠EKD=180°-16°-22°=142°．