Question

【题目】如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在边BC、AB上，且DE∥AB，∠DEF=∠A．

（1）求证：BE=AF；

（2）设BD与EF交于点M，联结AE交BD于点N，求证：BNMD=BDND．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)见解析

【解析】试题分析：（1）先证明四边形ADEF为平行四边形得到AF＝DE，再证明∠DBE＝∠BDE得到BE＝DE，则BE＝AF；

（2）如图，根据平行线分线段成比例定理，由EF∥AC得到AF：AB＝DM：BD等量代换得DE：AB＝DM：BD，再由DE∥AB得到DE：AB＝DN：BN，则DM：BD＝DN：BN，然后利用比例的性质即可得到结论．

试题解析：

证明：（1）∵DE∥AB，

∴∠A＋∠ADE＝180°，

∵∠DEF＝∠A，

∴∠DEF＋∠ADE＝180°，

∴EF∥AD，

∴四边形ADEF为平行四边形，

∴AF＝DE，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠DBE＝∠ABD，

∵DE∥AB，

∴∠ABD＝∠BDE，

∴∠DBE＝∠BDE，

∴BE＝DE，

∴BE＝AF；

（2）如图，

∵EF∥AC，

∴AF：AB＝DM：BD，

∵AF＝DE，

∴DE：AB＝DM：BD，

∵DE∥AB，

∴DE：AB＝DN：BN，

∴DM：BD＝DN：BN，

即BN·MD＝BD·ND．