Question

【题目】如图，等边△ABC中，点D在延长线上，CE平分∠ACD，且CE=BD．说明：△ADE是等边三角形．

Answer 1

【答案】详见解析.

【解析】试题分析：

要证△ADE为等边三角形，可以先证它为等腰三角形，再证该等腰三角形的一个内角为60°. 综合分析已知条件可知，可以利用△ABD和△ACE全等证明AD=AE. 根据已知条件和等边三角形的性质，不难证明∠B=∠ACE，进而利用SAS证明△ABD和△ACE全等. 利用全等三角形的性质可以得到△ADE是等腰三角形. 利用全等三角形的性质，通过相关角之间的和差关系，不难证明∠DAE=∠BAC=60°，从而证明△ADE为等边三角形.

试题解析：

证明：∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=∠ACB=∠BAC=60°，AB=AC.

∵∠ACB=60°，

∴∠ACD=180°-∠ACB=180°-60°=120°，

∵CE平分∠ACD，

∴.

∴∠B=∠ACE.

∵在△ABD和△ACE中，

，

∴△ABD≌△ACE (SAS)，

∴AD=AE，∠BAD=∠CAE.

∵∠BAD=∠CAE，

∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，

∴∠BAC=∠DAE=60°.

∵∠DAE=60°，AD=AE，

∴△ADE为等边三角形.