Question

【题目】已知：在Rt△ABC中，∠C=90°∠A、∠B、∠C所对的边分别记作a、b、c．

（1）如图1，分别以△ABC的三条边为边长向外作正方形，其正方形的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，则有____________；

（2）如图2，分别以△ABC的三条边为直径向外作半圆，其半圆的面积由小到大分别记作S1、S2、S3，请问S1+S2与S3有怎样的数量关系，并证明你的结论；

（3）分别以直角三角形的三条边为直径作半圆，如图3所示，其面积由小到大分别记作S1、S2、S3，根据（2）中的探索，直接回答S1+S2与S3有怎样的数量关系；

（4）若Rt△ABC中，AC=6，BC=8，求出图4中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】(1)S1+S2=S3；（2）；（3）；(4)24cm.

【解析】试题分析：（1）根据勾股定理即可得到a，b，c满足的关系．
（2）根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和；
（3）分别表示出S1、S2、S3，结合勾股定理即可得出关系式．
（4）根据半圆的面积公式以及勾股定理就可发现：两个小半圆的面积和等于大半圆的面积，从而得出阴影部分的面积=直角三角形的面积．

试题解析：（1）根据勾股定理可得S1+S2=S3．

（2）由题意得，S1=b2，S2=a2，S3=c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．
（3）S1=×b2，S2=×a2，S3=×c2，∵a2+b2=c2，∴S1+S2=S3．
（4）因为a2+b2=c2，两边同乘以，即得两小半圆的面积和等于大半圆的面积，
从而可得S阴影部分的面积=S直角三角形的面积=×8×6=24．故阴影部分的面积是24．