Question

【题目】定义：经过三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．例如如图1：等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”．

（1）判断（对的打“√”，错的打“×”）

①等边三角形不存在“和谐分割线”　 　

②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”　 　

（2）如图2，Rt△ABC，∠C=90°，∠B=30°，AC=2，请画出“和谐分割线”，并计算“和谐分割线”的长度；

（3）如图3，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，∠A=42°，求∠B的度数．

Answer 1

【答案】（1）√，√；（2）；（3）∠B的值为54°或27°或46°或32°．

【解析】

（1）根据“和谐分割线”的定义即可判断；

（2）如图作∠CAB的平分线，只要证明线段AD是“和谐分割线”即可；

（3）分四种情形讨论即可；

解：（1）①等边三角形不存在“和谐分割线”，正确；

②如果三角形中有一个角是另一个角的两倍，则这个三角形必存在“和谐分割线”，正确，

故答案为：√，√；

（2）如图作∠CAB的平分线，

∵∠C=90°，∠B=30°，

∴∠DAB=∠B=30°，

∴DA=DB，

∴△ADB是等腰三角形，且△ACD∽△BCA，

∴线段AD是△ABC的“和谐分割线”，

（3）如图3中，分四种情形：

①当AD=DC，△BCD∽△BAC时，可得∠ADC=180°﹣42°﹣42°=96°，∠BCD=∠A=42°，

∵∠ADC=∠BCD+∠B，

∴∠B=54°．

②当AC=AD，△BCD∽△BAC时，同法可得∠B=27°．

③当DC=DB，△ACD∽△ABC时，可得∠B=46°．

④当BC=BD，△ACD∽△ABC时，可得∠B=32°．

综上所述，满足条件的∠B的值为54°或27°或46°或32°．