Question

【题目】如图，正方形ABCO的边OA、OC在坐标轴上，点B坐标为（6，6），将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形CDEF，ED交线段AB于点G，ED的延长线交线段OA于点H，连CH、CG．

（1）求证：△CBG≌△CDG；
（2）求∠HCG的度数；并判断线段HG、OH、BG之间的数量关系，说明理由；
（3）连结BD、DA、AE、EB得到四边形AEBD，在旋转过程中，当G点在何位置时四边形AEBD是矩形？请说明理由并求出点H的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵将正方形ABCO绕点C逆时针旋转角度α，

∴DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，

∵四边形OCBA是正方形，

∴CB=CO，∠B=90°，

∴CB=CD，∠B=∠CDG=90°

在Rt△CDG与Rt△CBG中，

，

∴Rt△CDG≌Rt△CBG

（2）

解：∵∠CDG=90°，

∴∠CDH=90°，

在Rt△COH与Rt△CDH中，

，

∴Rt△COH≌Rt△CDH，

∴∠OCH=∠DCH，HO=DH，

∵Rt△CDG≌Rt△CBG，

∴∠DCG=∠BCG，DG=BG，

∴∠HCG=∠DCG+∠DCH=45°，

HG=HD+DG=HO+BG

（3）

解：当G是AB中点时，四边形ADBE是矩形，

∵G是AB中点，

∴BG=AG= AB

由（2）得DG=BG，

又∵AB=DE，

∴DG= DE，

∴DG=GE=BG=AG，

∴四边形AEBD是平行四边形，

∵AB=DE，

∴□ADBE是矩形，

设点H的坐标为（x，0），

则HO=HD=x，DG=BG=AG=3，AH=6﹣x，

由勾股定理得，（6﹣x）2+33=（3+x）2，

解得，x=2，

∴H（2，0）．

【解析】（1）根据旋转变换的性质得到DC=CO，∠CDG=∠COA=90°，根据正方形的性质得到CB=CO，∠B=90°，根据直角三角形的全等的判定定理证明即可；（2）证明Rt△COH≌Rt△CDH，得到∠OCH=∠DCH，HO=DH，等量代换即可；（3）根据矩形的判定定理证明四边形AEBD是矩形，设点H的坐标为（x，0），根据勾股定理列出方程，解方程求出x的值，得到点H的坐标．