Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点， =，CF=DF，连接AE、AF、EF，并延长FE交AB的延长线于点G．

（1）若正方形的边长为4，则EG等于 ；

（2）求证：△ECF∽△FDA；

（3）比较∠EAB与∠EAF的大小．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）证明参见解析；（3）∠EAF＜∠EAB．

【解析】

试题分析：（1）先根据正方形边长得CF=2，由平行相似得：△FCE∽△GBE，则，代入求得BG=6，根据勾股定理得：EG=3；（2）根据已知边的长度分别求=， ==，则=，再由正方形性质得：∠C=∠D=90°，则△ECF∽△FDA；（3）先根据（2）中的△ECF∽△FDA，得∠CFE=∠DAF，==，证明∠EFA=90°，分别计算∠EAB与∠EAF的正切值，根据两锐角正切大的角大，得出结论．

试题解析：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=CD=BC=4，∠ABC=90°，DC∥AB，∵CF=DF，∴CF=CD=2，

∵DC∥AG，∴△FCE∽△GBE，∴，∵=，∴=，BE=BC=×4=3，∴=，∴BG=6，在Rt△BEG中，EG===3；故答案为：3；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴BC=AD=DC=4，∠C=∠D=90°，∵DF=FC=2，CE=1，∴=， ==，∴=，∴△ECF∽△FDA；（3）∵△ECF∽△FDA，∴∠CFE=∠DAF，==，∵∠DFA+∠DAF=90°，∴∠CFE+∠DFA=90°，∴∠EFA=90°，∴tan∠EAF==，∵=，∴tan∠EAB==，∵<，∴∠EAF＜∠EAB．