【题目】如图，边长为2的正方形ABCD，点P在射线BC上，将△ABP沿AP向右翻折，得到△AEP，DE所在直线与AP所在直线交于点F.

（1）如图1，当点P在边BC上时：

①若∠BAP=30°，求∠AFD的度数；

②若点P是BC边上任意一点时（不与B，C重合），∠AFD的度数是否会发生变化？试证明你的结论；

（2）如图2，若点P在BC边的延长线上时，∠AFD的度数是否会发生变化？试在图中画出图形，并直接写出结论；

（3）是否存在这样的情况，点E为线段DF的中点，如果存在，求BP的值；如果不存在，请说明理由.

参考答案：

【答案】（1）①∠AFD的度数为45°；②∠AFD的度数不会发生变化，证明见解析；

（2）画出图形见解析，∠AFE 的大小不会改变，理由见解析；

（3）BP的值为1.

【解析】（1）①∵∠EAP =∠BAP =30°，∴∠DAE =90°-30°×2=30°．

∵在△ADE中，AD =AE，∠DAE =30°，

∴∠ADE =∠AED =（180°﹣30°）÷2=75°．

∵在△AFD中，∠FAD =30°﹢30°=60°，∠ADF =75°，

∴∠F =180°﹣60°﹣75°=45°．

②方法一：

作AG⊥DF于G ，

∵在△ADE在，AD =AE，AG ⊥DE ，

∴AG平分∠DAE，∠2=∠DAG．

∵∠1=∠BAP，

∴∠1﹢∠2 =×90°=45°．

∴∠F =90°﹣45°=45°．

方法二：

②设∠BAP =∠EAP = ，则∠EAD=90°-2，∠FAD=90°- ．

∵在△ADE中，AD =AE，∠EAD=90°-2，

∴∠ADE= (180°-∠EAD)= (180°-90°+2)=45°+ ．

∴在△ADF中，∠F=180°-∠FAD-∠ADE=180°-(90°- )-(45°+ )=45°．

（2）方法一：

作图如图2所示，∠AFE 的大小不会改变．作AG⊥DE于G ，得∠DAG =∠EAG ，

设∠DAG =∠EAG = ．

∴∠BAE =90°+2．

∴∠FAE =∠BAE =45°+ ．

∴∠FAG =∠FAE -∠EAG =45°．

方法二：

(2) ∠AFD 的大小不会改变．

设∠BAP =∠EAP = ,则∠EAD=2－90° ，

∵在△ADE中，AD =AE，∠EAD=2-90°，

∴∠AED= (180°-∠EAD)= (180°-2+90°)=135°- ．

∴在△AEF中, ∠AFD=180°-∠FAE-∠AED=180°- -(135°- )=45°．

（3）存在点E为DF的中点．

连接BE交AF于点O，作EG∥AD，得EG∥BC．

∵EG∥AD，DE=EF，

∴EG=AD=1．

∵AB=AE，∴点A在线段BE的垂直平分线上．

同理得：点P在线段BE的垂直平分线上．

∴AF垂直平分线段BE．

∴OB=OE．

∵GE∥BP，∴∠OBP=∠OEG，∠OPB=∠OGE．

∴BP=EG=1．

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