Question

【题目】如图，已知AB是⊙O的弦，OB=2，∠B=30°，C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD．

（1）弦AB=（结果保留根号）；
（2）当∠D=20°时，求∠BOD的度数．

Answer 1

【答案】
（1）2
（2）解：解法一：∵∠BOD=∠B+∠BCO，∠BCO=∠A+∠D．

∴∠BOD=∠B+∠A+∠D．

又∵∠BOD=2∠A，∠B=30°，∠D=20°，

∴2∠A=∠B+∠A+∠D=∠A+50°，∠A=50°，

∴∠BOD=2∠A=100°．

解法二：如图，连接OA．

∵OA=OB，OA=OD，

∴∠BAO=∠B，∠DAO=∠D，

∴∠DAB=∠BAO+∠DAO=∠B+∠D． …

又∵∠B=30°，∠D=20°，

∴∠DAB=50°，…

∴∠BOD=2∠DAB=100°

【解析】（1）如图，过O作OE⊥AB于E，

∴E是AB的中点，

在Rt△OEB中，OB=2，∠B=30°，

∴OE=1，

∴BE= ，

∴AB=2BE=2 ；

【考点精析】关于本题考查的垂径定理和圆周角定理，需要了解垂径定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半才能得出正确答案．