【题目】如图，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为（2，3）．双曲线y= （x＞0）的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE．

（1）求k的值及点E的坐标；
（2）若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的解析式．

参考答案：

【答案】
（1）

解：∵BC∥x轴，点B的坐标为（2，3），

∴BC=2，

∵点D为BC的中点，

∴CD=1，

∴点D的坐标为（1，3），

代入双曲线y= （x＞0）得k=1×3=3；

∵BA∥y轴，

∴点E的横坐标与点B的横坐标相等，为2，

∵点E在双曲线上，

∴y=

∴点E的坐标为（2， ）


（2）

解：∵点E的坐标为（2， ），B的坐标为（2，3），点D的坐标为（1，3），

∴BD=1，BE= ，BC=2

∵△FBC∽△DEB，

∴

即：

∴FC=

∴点F的坐标为（0， ）

设直线FB的解析式y=kx+b（k≠0）

则

解得：k= ，b=

∴直线FB的解析式y=


【解析】（1）首先根据点B的坐标和点D为BC的中点表示出点D的坐标，代入反比例函数的解析式求得k值，然后将点E的横坐标代入求得E点的纵坐标即可；（2）根据△FBC∽△DEB，利用相似三角形对应边的比相等确定点F的坐标后即可求得直线FB的解析式．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用反比例函数的图象和反比例函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握反比例函数的图像属于双曲线．反比例函数的图象既是轴对称图形又是中心对称图形．有两条对称轴：直线y=x和 y=-x．对称中心是：原点；性质:当k＞0时双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k＜0时双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大．

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