Question

【题目】已知，点P是等边△ABC中一点，线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，连接PQ、QC．

（1）求证：PB=QC；

（2）若∠APB=150°，PA=9，PB=12，求PC的长度．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）PC=15

【解析】

（1）利用旋转的性质找到证明△BAP≌△CAQ,,然后利用全等三角形的性质即可证明；

（2）利用等边三角形的性质和勾股定理解答即可．

（1）证明：∵线段AP绕点A逆时针旋转60°到AQ，

∴AP=AQ，∠PAQ=60°，

∴△APQ是等边三角形，

∴∠PAC+∠CAQ=60°，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAP+∠PAC=60°，AB=AC，

∴∠BAP=∠CAQ，

在△BAP和△CAQ中，BA=CA，∠BAP=∠CAQ，AP=AQ

∴△BAP≌△CAQ（SAS）；

∴PB=QC；

（2）解：∵△APQ是等边三角形，

∴AP=PQ=9，∠AQP=60°，

∵∠APB=150°，

∴∠PQC=150°-60°=90°，

∵PB=QC=12，

∴△PQC是直角三角形，

∴PC=．