Question

【题目】如图，在□ABCD 中，以点 A 为圆心，AB 长为半径画弧交 AD 于点 F，再分别以点 B、F 为圆心，大于BF 的相同长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 E，连接 EF．

（1）根据以上尺规作图的过程，证明四边形 ABEF 是菱形；

（2）若菱形 ABEF 的边长为 2，AE＝ 2 ，求菱形 ABEF 的面积．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由作法可知，AP平分∠BAF，推出∠EAB=∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF=∠AEB=∠EAB，得到BE=AB=AF，由此即可证明；

（2）连结BF，交AE于G．根据菱形的性质得出AB=2，AG=AE=，再根据勾股定理求出FG，可得BF的长，根据根据菱形面积公式计算即可；

解：（1）根据题意，

由作法可知，AP平分∠BAF，

∴∠EAB=∠EAF，

∵AD∥BC，

∴∠EAF=∠AEB=∠EAB，

∴BE=AB=AF．

∵AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB=BE，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）如图，连结BF，交AE于G．

∵菱形ABEF的边长为2，AE=，

∴AB=BE=EF=AF=2，AG=AE=，AE⊥BF，

∴∠AGF=90°，GF=，

∴，

∴菱形的面积为：.