Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与X轴交于点A、B两点B处的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，﹣3），点P是直线BC下方抛物线上的动点．

（1）求出二次函数的解析式；
（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，求出点P的坐标，若存在，请说明理由；
（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P的坐标和四边形ABPC的最大面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：把B（3，0）、C（0，﹣3）代入y=x2+bx+c，得

，解得 ，

∴这个二次函数的表达式为y=x2﹣2x﹣3

（2）解：存在．理由如下：

如图1中，作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，垂足为点E．

则PO=PC，

∵△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，

∴OP′=OP，CP′=CP，

∴OP′=OP=CP′=CP，

∴四边形POP′C为菱形，

∵C点坐标为（0，﹣3），

∴E点坐标为（0，﹣ ），

∴点P的纵坐标为﹣ ，

把y=﹣ 代入y=x2﹣2x﹣3得x2﹣2x﹣3=﹣ ，

解得x= ，

∵点P在直线BC下方的抛物线上，

∴x= ，

∴满足条件的点P的坐标为（ ，﹣ ）．

（3）解：如图2中，作PF⊥x轴于F点，交BC于E点，BC的解析式为y=x﹣3，设E（m，m﹣3），P（m，m2﹣2m﹣3）．

，

PE=m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）=﹣m2+3m=﹣（m﹣ ）2+ ，

S△BCP=S△BEP+SCEP= PE×FB+ EPOF

= EPOB

= ×3[﹣（m﹣ ）2+ ]

=﹣ （m﹣ ）2+ ，

∵﹣ ＜0，

∴当m= 时，S最大= ，

此时P（ ，﹣ ）；

∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），

∵四边形ACPB的面积=△ABC的面积+△PBC的面积，△ABC的面积= ×4×3=6=定值，

∴当△PBC的面积最大时，四边形ACPB的面积最大，最大值为6+ =

【解析】1）将点B、C代入y=x2+bx+c可得到关于b、c的方程组，解方程组求即可。
（2）作OC的垂直平分线交直线BC下方的抛物线于点P，则PO=PC，根据翻折的性质得OP′=OP，CP′=CP，易证得四边形POP′C为菱形，就可以求得点E的坐标，将点P的纵坐标代入二次函数解析式，可求出对应x的值，根据点P在直线BC下方的抛物线上，然后确定满足条件的P点坐标。
（3）添加辅助线，作PF⊥x轴于F点，交BC于E点，BC的解析式为y=x-3，设E（m，m-3），P′（m，m2-2m-3）．根据S△BCP=S△BEP+SCEP，构建s与m的二次函数，求出二次函数的顶点坐标，求出△PBC的面积的最大值，即可解决问题。

【考点精析】认真审题，首先需要了解确定一次函数的表达式(确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式y=kx+b（k不等于0）中的常数k和b．解这类问题的一般方法是待定系数法)，还要掌握二次函数的最值(如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a)的相关知识才是答题的关键．