Question

【题目】如图，在等边△ABC中，点D是AC上的一点，在BC上取一点E，使BE=CD，连接AE交BD于点P，在BD的延长线上取一点Q，使AP=PQ，连接AQ、CQ，点G为PQ的中点，DG=PE，若CQ=，则BQ=________________．

Answer 1

【答案】

【解析】

如下图，连接CG，由已知条件易证△ABE≌△BCD，由此可得∠BAE=∠CBD，从而可得∠APQ=∠BAE+∠ABP=∠ABC=60°，结合AP=PQ可得△APQ是等边三角形，由此易证△ABP≌△ACQ，从而可得BP=CQ=，再通过证∠BEP=∠CDG，证得△BEP≌△CDG可得CG=BP=CQ，∠CGD=∠BPE=∠APD=60°，由此可得△CGQ是等边三角形，由此可得GQ=CQ=，结合点G是PQ的中点可得PQ=，由此即可得到BQ=.

如下图，连接CQ，∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，∠ABE=∠BCD=60°，

∵BE=CD，

∴△ABE≌△BCD，

∴∠BAE=∠CBD，

∴∠APQ=∠BAE+∠ABD=∠CBD+∠ABD=∠ABC=60°，

∵AP=PQ，

∴△APQ是等边三角形，

∴∠PAQ=∠BAC=60°，AP=AQ，

∴∠BAC-∠EAC=∠PAQ-∠EAC，即∠BAP=∠CAQ，

∴△BAP≌△CAQ，

∴BP=CQ=，

∵∠BEP=∠ACB+∠CAE=60°+∠CAE，∠CDG=∠APQ+∠CAE=60°+∠CAE，

∴∠BEP=∠CDG，

又∵BE=CD，PE=DG，

∴△BEP≌△CDG，

∴CG=BP=CQ，∠PBE=∠GCD，

∴∠DGC=∠PBE+∠GCB=∠GCD+∠GCB=∠DCB=60°，

∴△GCD是等边三角形，

∴GQ=CQ=，

又∵点G是PQ的中点，

∴PQ=2GQ=，

∴BQ=BP+PQ=.

故答案为：.