Question

【题目】如图，在△ABC中，BE是它的角平分线，∠C=90°，D在AB边上，以DB为直径的半圆O经过点E，交BC于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知cosA= ，⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接OE，

∴BE是∠OBC的角平分线，

∴∠OBE=∠CBE，

∵OE=OB，

∴∠OEB=∠OBE，

∴∠OEB=∠CBE，

∴OE∥BC，

∴∠AEO=∠C=90°，

∵OE是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：连接OF，

∵cosA= ，

∴∠A=30°，

∴∠ABC=∠AOE=60°

∵OB=OF=3，

∴∠FOB=∠ABC=60°，

∴∠EOF=60°，

∴扇形OEF的面积为： = ，

∵OE=3，∠BAC=30°，

∴AO=2OE=6，

∴AB=AO+OB=9，

∴BC= AB=

∴由勾股定理可知：AE=3 ，AC= ，

∴CE=AC﹣AE= ，

∵BF=OB=3，

∴CF=BC﹣BF=

∴梯形OFCE的面积为： = ，

∴阴影部分面积为： ﹣

【解析】（1）连接，根据BE平分∠OBC，OE=OB，可得出OE∥BC，从而可知∠AEO=∠C=90°，根据切线的判定，即可得出AC是⊙O的切线；（2）连接OF，根据条件分别求出OE、CF、CE，∠EOF的数值后，根据面积公式分别计算梯形OFCE与扇形EOF的面积，从而可求出阴影部分的面积．