Question

【题目】点D，E分别在△ABC的边AC，BD上，BD，CE交于点F，连接AF，∠FAE＝∠FAD，FE＝FD．

（1）如图1，若∠AEF＝∠ADF，求证：AE＝AD；

（2）如图2，若∠AEF≠∠ADF，FB平分∠ABC，求∠BAC的度数；

（3）在（2）的条件下，如图3，点G在BE上，∠CFG＝∠AFB若AG＝6，△ABC的周长为20，求BC长．

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）;（3）.

【解析】

（1）证明△AEF≌△ADF，根据全等三角形的对应边相等证明结论；
（2）过点F分别作AB，BC，AC边上的高，根据角平分线的性质定理得到FP=FQ，FP=FN，根据角平分线的判定定理得到CF平分∠ACB，证明Rt△PEF≌Rt△NDF，根据全等三角形的性质得到∠PEF=∠FDN，计算得到答案；
（3）在BC上取点R，使CR=CA，分别证明△CAF≌△CRF、△BGF≌△BRF，根据全等三角形的性质、三角形的周长公式计算即可．

（1）∵，，.

∴，∴.

（2）过点分别作，，边上的高，，，，点，，为垂足.

∵，分别平分和，∴，，

∴，且，，∴平分.

∴.

∵，

∴

.

∵，∴，∴，∴，

∴.

∴且，

∴.

（3）在上取点，使，

∵，，∴.

∴，.

∵，∴，

∴，

∵，

∴，.

∴.

∵，，∴.

∴.

∵，

∴.