Question

【题目】阅读下列材料，并解决后面的问题． 材料：我们知道，n个相同的因数a相乘 可记为an ， 如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3），一般地，若an=b （a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）
（1）计算以下各对数的值：log24= ， log216= ， log264= ．
（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？
（3）根据（2）的结果，我们可以归纳出：logaM+logaN=logaM N（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0） 请你根据幂的运算法则：am=am+n以及对数的定义证明该结论．

Answer 1

【答案】
（1）2；4；6
（2）解：4×16=64，

log24+log216=2+4=6=log264

（3）解：设logaM=x，那么有ax=M，又设logaN=y，那么有ay=M，

故logaM+logaN=x+y而ax+y=axay=MN，

根据对数的定义化成对数式为x+y=logaMN，

∴logaM+logaN=logaMN

【解析】解：（1）∵22=4， ∴log24=2，
∵24=16，
∴log216=4，
∵26=64，
∴log264=6，
所以答案是：2，4，6；
【考点精析】解答此题的关键在于理解有理数的乘方的相关知识，掌握有理数乘方的法则：1、正数的任何次幂都是正数2、负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；注意：当n为正奇数时: (-a)n=-an或(a -b)n=-(b-a)n , 当n为正偶数时: (-a)n =an 或 (a-b)n=(b-a)n．