Question

【题目】如图，⊙O为△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，过点A作AD⊥BF，垂足为D．

（1）求证：AD为⊙O的切线；
（2）若BD=1，tan∠BAD= ，求⊙O的直径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OA，

∵BC为⊙O的直径，BA平分∠CBF，AD⊥BF，

∴∠ADB=∠BAC=90°，∠DBA=∠CBA；

∵∠OAC=∠OCA，

∴∠DAO=∠DAB+∠BAO=∠BAO+∠OAC=90°，

∴DA为⊙O的切线

（2）解：∵BD=1，tan∠BAD= ，

∴AD=2，

∴AB= = ，

∴cos∠DBA= ；

∵∠DBA=∠CBA，

∴BC= = =5．

∴⊙O的直径为5．

【解析】（1）连接OA，由题意可得∠ADB=∠BAC=90°，再由BA平分∠CBF，可得∠DBA=∠CBA，再由∠OAC=∠OCA，继而可得∠DAO=90°，可证明结论；
（2）由BD=1，tan∠BAD的值可求得AD的值，再由勾股定理可求出AB的值，可求出cos∠DBA的值，在Rt△ABC中由cos∠DBA=可求出BC的长，可得圆的直径.
【考点精析】本题主要考查了圆周角定理和切线的判定定理的相关知识点，需要掌握顶点在圆心上的角叫做圆心角;顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角;一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．