Question

【题目】如图，点E在以AB为直径的⊙O上，点C是 的中点，过点C作CD垂直于AE，交AE的延长线于点D，连接BE交AC于点F．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若cos∠CAD= ，BF=15，求AC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接OC，如图1所示．

∵点C是 的中点，

∴ = ，

∴OC⊥BE．

∵AB是⊙O的直径，

∴AD⊥BE，

∴AD∥OC．

∵AD⊥CD，

∴OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：过点O作OM⊥AC于点M，如图2所示．

∵点C是 的中点，

∴ = ，∠BAC=∠CAE，

∴ = ．

∵cos∠CAD= ，

∴ = ，

∴AB= BF=20．

在Rt△AOM中，∠AMO=90°，AO= AB=10，cos∠OAM=cos∠CAD= ，

∴AM=AOcos∠OAM=8，

∴AC=2AM=16．

【解析】（1）连接OC，由点C是 的中点利用垂径定理可得出OC⊥BE，由AB是⊙O的直径可得出AD⊥BE，进而可得出AD∥OC，再根据AD⊥CD可得出OC⊥CD，由此即可证出CD是⊙O的切线．（2）过点O作OM⊥AC于点M，由点C是 的中点利用圆周角定理可得出∠BAC=∠CAE，根据角平分线的定理结合cos∠CAD= 可求出AB的长度，在Rt△AOM中，通过解直角三角形可求出AM的长度，再根据垂径定理即可得出AC的长度．
【考点精析】本题主要考查了解直角三角形的相关知识点，需要掌握解直角三角形的依据：①边的关系a2+b2=c2；②角的关系：A+B=90°；③边角关系：三角函数的定义．(注意：尽量避免使用中间数据和除法)才能正确解答此题．