【题目】如图，在△ABC中，以BC为直径的圆交AC于点D，∠ABD＝∠ACB.

（1）求证：AB是圆的切线；

（2）若点E是BC上一点，已知BE＝4 ,tan∠AEB＝，AB∶BC＝2∶3，求圆的直径．

参考答案：

【答案】（1）详见解析；（2）10.

【解析】

试题分析：（1）根据∠ABD＝∠ACB和∠ACB＋∠DBC＝ 90°可得∠ABC＝90°，然后根据切线的判定定理可判断AB是圆的切线；（2） 根据BE＝4 ,tan∠AEB＝先求出AB的长，再根据AB∶BC＝2∶3求出BC的长，即得直径.

试题解析：（1）证明：∵BC是直径，∴∠BDC＝90°,∴∠ACB＋∠DBC＝ 90°.

又∵∠ABD＝∠ACB,∴∠ABD＋∠DBC＝90°,∴AB⊥BC.

又∵点B在圆上，∴AB是圆的切线．

（2）解：在Rt△AEB中，tan∠AEB＝，∴＝，即AB＝BE＝×4＝．

∵AB∶BC＝2∶3，∴BC＝AB＝×＝10.

∴圆的直径为10.

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