Question

【题目】如图，已知矩形ABCD中，AB=4，AD=m，动点P从点D出发，在边DA上以每秒1个单位的速度向点A运动，连接CP，作点D关于直线PC的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．

（1）若m=6，求当P，E，B三点在同一直线上时对应的t的值．

（2）已知m满足：在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，求所有这样的m的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ≤m＜4．

【解析】

试题分析：（1）只要证明△ABD∽△DPC，可得，由此求出PD即可解决问题；

（2）分两种情形求出AD的值即可解决问题：①如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．②如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3

试题解析：（1）如图1中，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADC=∠A=90°，

∴∠DCP+∠CPD=90°，

∵∠CPD+∠ADB=90°，

∴∠ADB=∠PCD，

∵∠A=∠CDP=90°，

∴△ABD∽△DPC，

∴，

∴，

∴PD=,

∴t=s时，B、E、D共线．

（2）如图2中，当点P与A重合时，点E在BC的下方，点E到BC的距离为3．

作EQ⊥BC于Q，EM⊥DC于M．则EQ=3，CE=DC=4

易证四边形EMCQ是矩形，

∴CM=EQ=3，∠M=90°，

∴EM=，

∵∠DAC=∠EDM，∠ADC=∠M，

∴△ADC∽△DME，

，

∴，

∴AD=4，

如图3中，当点P与A重合时，点E在BC的上方，点E到BC的距离为3．

作EQ⊥BC于Q，延长QE交AD于M．则EQ=3，CE=DC=4

在Rt△ECQ中，QC=DM=，

由△DME∽△CDA，

∴，

∴，

∴AD=，

综上所述，在动点P从点D到点A的整个运动过程中，有且只有一个时刻t，使点E到直线BC的距离等于3，这样的m的取值范围≤m＜4．