Question

【题目】已知射线AB∥射线CD，P为一动点，AE平分∠PAB，CE平分∠PCD，且AE与CE相交于点E.

(1)在图1中,当点P运动到线段AC上时,∠APC=180°.

①直接写出∠AEC的度数；②求证：∠AEC=∠EAB+∠ECD；

(2)当点P运动到图2的位置时，猜想∠AEC与∠APC之间的关系，并加以说明；

(3)当点P运动到图3的位置时,(2)中的结论是否还成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出∠AEC与∠APC之间的关系，并加以证明。

Answer 1

【答案】（1））①∠AEC=90°②见解析；（2）∠AEC=∠APC， 理由见解析；（3）不成立,∠AEC=180∠APC ，理由见解析

【解析】

（1）①由平行线的性质可得出∠PAB+∠PCD=180°，进而可得出∠AEC的度数；

②在图1中，过E作EF∥AB，根据平行线的性质可得出∠AEF=∠EAB、∠CEF=∠ECD，进而即可证出∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD；

（2）猜想：∠AEC=∠APC，由角平分线的定义可得出∠EAB=∠PAB、∠ECD=∠PCD，由（1）可知∠AEC=∠EAB+∠ECD、∠APC=∠PAB+∠PCD，进而即可得出∠AEC=（∠PAB+∠PCD）=∠APC；

（3）在图3中，（2）中的结论不成立，而是满足∠AEC=180°-∠APC，过P作PQ∥AB，由平行线的性质可得出∠PAB+∠APQ=180°、∠CPQ+∠PCD=180°，进而可得出∠PAB+∠PCD=360°-∠APC，再由角平分线的定义可得出∠EAB=∠PAB、∠ECD=∠PCD，结合（1）的结论即可证出∠AEC=180°- ∠APC．

(1)①∵AB∥CD，

∴∠PAB+∠PCD=180°，

∴∠AEC=90°；

②证明：在图1中,过E作EF∥AB，则∠AEF=∠EAB.

∵AB∥CD，

∴EF∥CD，

∴∠CEF=∠ECD.

∴∠AEC=∠AEF+∠CEF=∠EAB+∠ECD.

(2)猜想：∠AEC=∠APC，理由如下：

∵AE、CE分别平分∠PAB和∠PCD，

∴∠EAB=∠PAB,∠ECD=∠PCD.

由(1)知∠AEC=∠EAB+∠ECD，∠APC=∠PAB+∠PCD，

∴∠AEC=∠PAB+∠PCD= (∠PAB+∠PCD)= ∠APC.

(3)在图3中,(2)中的结论不成立,而是满足∠AEC=180∠APC，

其证明过程是：

过P作PQ∥AB,则∠PAB+∠APQ=180°.

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

∴∠CPQ+∠PCD=180.

∴∠PAB+∠APQ+∠CPQ+∠PCD=360°,即∠PAB+∠PCD=360°∠APC.

∵AE、CE分别平分∠PAB和∠PCD，

∴∠EAB=∠PAB,∠ECD=∠PCD.

由(1)知∠AEC=∠EAB+∠ECD，

∴∠AEC=∠PAB+∠PCD= (∠PAB+∠PCD)= 180°- ∠APC．