Question

【题目】某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A、B两类，A类杨梅包装后直接销售；B类杨梅深加工后再销售．A类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y（单位：万元/吨）与销售数量x（x≥2）之间的函数关系如图；B类杨梅深加工总费用s（单位：万元）与加工数量t（单位：吨）之间的函数关系是s=12+3t，平均销售价格为9万元/吨．
（1）直接写出A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式；
（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A类杨梅有x吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w万元（毛利润=销售总收入﹣经营总成本）． ①求w关于x的函数关系式；
②若该公司获得了30万元毛利润，问：用于直销的A类杨梅有多少吨？
（3）第二次，该公司准备投入132万元资金，请设计一种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．

Answer 1

【答案】
（1）解：①当2≤x＜8时，如图，

设直线AB解析式为：y=kx+b，

将A（2，12）、B（8，6）代入得：

，解得 ，

∴y=﹣x+14；

②当x≥8时，y=6．

所以A类杨梅平均销售价格y与销售量x之间的函数关系式为：

y=

（2）解：设销售A类杨梅x吨，则销售B类杨梅（20﹣x）吨．

①当2≤x＜8时，

wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；

wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x

∴w=wA+wB﹣3×20

=（﹣x2+13x）+（108﹣6x）﹣60

=﹣x2+7x+48；

当x≥8时，

wA=6x﹣x=5x；

wB=9（20﹣x）﹣[12+3（20﹣x）]=108﹣6x

∴w=wA+wB﹣3×20

=（5x）+（108﹣6x）﹣60

=﹣x+48．

∴w关于x的函数关系式为：

w= ．

②当2≤x＜8时，﹣x2+7x+48=30，解得x1=9，x2=﹣2，均不合题意；

当x≥8时，﹣x+48=30，解得x=18．

∴当毛利润达到30万元时，直接销售的A类杨梅有18吨

（3）解：设该公司用132万元共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，

则购买费用为3m万元，A类杨梅加工成本为x万元，B类杨梅加工成本为[12+3（m﹣x）]万元，

∴3m+x+[12+3（m﹣x）]=132，化简得：x=3m﹣60．

①当2≤x＜8时，

wA=x（﹣x+14）﹣x=﹣x2+13x；

wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12

∴w=wA+wB﹣3×m

=（﹣x2+13x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m

=﹣x2+7x+3m﹣12．

将3m=x+60代入得：w=﹣x2+8x+48=﹣（x﹣4）2+64

∴当x=4时，有最大毛利润64万元，

此时m= ，m﹣x= ；

②当x≥8时，

wA=6x﹣x=5x；

wB=9（m﹣x）﹣[12+3（m﹣x）]=6m﹣6x﹣12

∴w=wA+wB﹣3×m

=（5x）+（6m﹣6x﹣12）﹣3m

=﹣x+3m﹣12．

将3m=x+60代入得：w=48

∴当x＞8时，有最大毛利润48万元．

综上所述，购买杨梅共 吨，其中A类杨梅4吨，B类 吨，公司能够获得最大毛利润，最大毛利润为64万元．

【解析】（1）这是一个分段函数，分别求出其函数关系式；（2）①当2≤x＜8时及当x≥8时，分别求出w关于x的表达式．注意w=销售总收入﹣经营总成本=wA+wB﹣3×20；②若该公司获得了30万元毛利润，将30万元代入①中求得的表达式，求出A类杨梅的数量；（3）本问是方案设计问题，总投入为132万元，这笔132万元包括购买杨梅的费用+A类杨梅加工成本+B类杨梅加工成本．共购买了m吨杨梅，其中A类杨梅为x吨，B类杨梅为（m﹣x）吨，分别求出当2≤x＜8时及当x≥8时w关于x的表达式，并分别求出其最大值．