Question

【题目】如图，P是正三角形ABC内的一点，且PA=6，PB=8，PC=10，将△APB绕点B逆时针旋转一定角度后，可得到△CQB．
（1）求点P与点Q之间的距离；
（2）求∠APB的度数．

Answer 1

【答案】
（1）解：连接PQ，

由旋转性质有：

BQ=BP=8，QC=PA=6，∠QBC=∠ABP，∠BQC=∠BPA，

∴∠QBC+∠PBC=∠ABP+∠PBC

即∠QBP=∠ABC，

∵△ABC是正三角形，

∴∠ABC=60°，

∴∠QBP=60°，

∴△BPQ是正三角形，

∴PQ=BP=BQ=8

（2）解：在△PQC中，PQ=8，QC=6，PC=10

∴PQ2+QC2=PC2，

∴∠PQC=90°，

∴∠APB=∠BQC=∠BQP+∠PQC=60°+90°=150°

【解析】（1）由旋转的性质可以证明△PBQ是等边三角形，即可解决问题．（2）利用勾股定理的逆定理证明∠PQC=90°，由∠BQC=∠APB，即可解决问题．
【考点精析】掌握等边三角形的性质和勾股定理的逆定理是解答本题的根本，需要知道等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°；如果三角形的三边长a、b、c有下面关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．