Question

【题目】如图,在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，∠PCQ=45°，把∠PCQ绕点C旋转，在整个旋转过程中，过点A作AD⊥CP，垂足为D，直线AD交CQ于E．

（1）如图①，当∠PCQ在∠ACB内部时，求证：AD+BE=DE；

（2）如图②,当CQ在∠ACB外部时,求证AD-BE=DE；

（3）在（1）的条件下，若CD=18，S△BCE=2S△ACD，求AE的长．（直接写结果）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）24

【解析】试题分析：（1）延长DA到F，使DF=DE，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得证；
（2）在AD上截取DF=DE，然后根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得CE=CF，再求出∠ACF=∠BCE，然后利用“边角边”证明△ACF和△BCE全等，根据全等三角形的即可证明AF=BE，从而得到AD=BE+DE；
（3）根据等腰直角三角形的性质求出CD=DF=DE，再根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出AF=2AD，然后求出AD的长，再根据AE=AD+DE代入数据进行计算即可得解．

试题解析：

（1）如图①，延长DA到F，使DF=DE，
∵CD⊥AE，∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠ACF=∠DCF=45°，
又∵∠ACB=90°，∠PCQ=45°，
∴∠ACD+∠BCE=90°-45°=45°，
∴∠ACF=∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中， ，

∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，
∴AD+BE=AD+AF=DF=DE，即AD+BE=DE；

（2）如图②，在AD上截取DF=DE，
∵CD⊥AE，∴CE=CF，
∴∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，
∴∠ECF=∠DCE+∠DCF=90°，
∴∠BCE+∠BCF=∠ECF=90°，
又∵∠ACB=90°，∴∠ACF+∠BCF=90°，∴∠ACF=∠BCE，
∵在△ACF和△BCE中， ，

∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF=BE，
∴AD=AF+DF=BE+DE，即AD=BE+DE；

（3）∵∠DCE=∠DCF=∠PCQ=45°，∴∠ECF=45°+45°=90°，
∴△ECF是等腰直角三角形，∴CD=DF=DE=6，
∵S△BCE=2S△ACD，∴AF=2AD，
∴AD=×6=2，∴AE=AD+DE=2+6=8．