Question

【题目】阅读材料，善于思考的小军在解方程组 时，采用了一种“整体代换”的解法：
解：将方程②变形：4x+10y+y=5
即2（2x+5y）+y=5③
把方程①代入③得：2×3+y=5
∴y=﹣1
把y=﹣1代入①得x=4
∴方程组的解为
请你解决以下问题：
（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组
（2）已知x、y满足方程组
①求x2+4y2的值；
②求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由②得：3x+6x﹣4y=19，即3x+2（3x﹣2y）=19③，

把①代入③得：3x+10=19，即x=3，

把x=3代入①得：y=2，

则方程组的解为 ；

（2）解：①由5x2﹣2xy+20y2=82得：5（x2+4y2）﹣2xy=82，即x2+4y2= ，

由2x2﹣xy+8y2=32得：2（x2+4y2）﹣xy=32，即2× ﹣xy=32，

整理得：xy=4，

∴x2+4y2= = =18；

②∵x2+4y2=18，xy=4，

∴（x+2y）2=x2+4y2+4xy=18+16=34，即x+2y=± ，

则原式= ．

【解析】（1）“整体代换”可以一个未知数系数为基准，在此基础上乘以一个适当的数，另一个未知数系数进行拆分；（2）以（x2+4y2）为个整体，两个方程分别变形，整体上以（x2+4y2）、xy为两个未知数，加减消元，消去xy ,即可求出（x2+4y2）的值；x2+4y2相当于x、2y的平方和，联想到这两个数的平方，分别代换即可求出x+2y的值，注意正负都可取.