Question

【题目】如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”．

（1）请用直尺和圆规画一个“好玩三角形”；
（2）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= ，求证：△ABC是“好玩三角形”；
（3）如图2，已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=2β，点P，Q从点A同时出发，以相同速度分别沿折线AB﹣BC和AD﹣DC向终点C运动，记点P经过的路程为s．
①当β=45°时，若△APQ是“好玩三角形”，试求 的值；
②当tanβ的取值在什么范围内，点P，Q在运动过程中，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”．请直接写出tanβ的取值范围．
（4）（本小题为选做题）
依据（3）的条件，提出一个关于“在点P，Q的运动过程中，tanβ的取值范围与△APQ是‘好玩三角形’的个数关系”的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1，①作一条线段AB，

②作线段AB的中点O，

③以点O为圆心，AB为半径画圆，

④在圆O上取一点C，连接AC、BC，

∴△ABC是所求作的三角形（点E、F除外）

（2）

解：如图2，取AC的中点D，连接BD

∵∠C=90°，tanA= ，

∴

∴设BC= x，则AC=2x，

∵D是AC的中点，

∴CD= AC=x

∴BD= = =2x，

∴AC=BD

∴△ABC是“好玩三角形”

（3）

解：①如图3，当β=45°，点P在AB上时，

∴∠ABC=2β=90°，

∴△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，

当P在BC上时，连接AC交PQ于点E，延长AB交QP的延长线于点F，

∵PC=CQ，

∴∠CAB=∠ACP，∠AEF=∠CEP，

∴△AEF∽△CEP，

∴ ．

∵PE=CE，

∴ ．

(i)当底边PQ与它的中线AE相等时，即AE=PQ时，

=2，

∴ ，

(ii)当腰AP与它的中线QM相等，即AP=QM时，

作QN⊥AP于N，如图4

∴MN=AN= MP．

∴QN= MN，

∴tan∠APQ= ，

∴tan∠APE= = ，

∴ =

②由①可知，当AE=PQ和AP=QM时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”，

∴ ＜tanβ＜2时，有且只有一个△APQ能成为“好玩三角形”

（4）

解：由（3）可以知道0＜tanβ＜ ，

则在P、Q的运动过程中，使得△APQ成为“好玩三角形”的个数为2

【解析】（1）先画一条线段AB，再确定AB的中点O，以点O为圆心，AB为半径画圆，在圆O上取一点C，连接AC、BC，则△ABC是所求作的三角形；
（2）取AC的中点D，连接BD，设BC= x，根据条件可以求出AC=2x，由三角函数可以求出BD=2x，从而得出AC=BD，从而得出结论；
（3）①当β=45°时，分情况讨论，P点在AB上时，△APQ是等腰直角三角形，不可能是“好玩三角形”，当P在BC上时，延长AB交QP的延长线于点F，可以求出分情况讨论，就可以求出 ，再分情况讨论就可以求出当AE=PQ时， 的值，当AP=QM时，可以求出 的值；②根据①求出的两个 的值就可以求出tanβ的取值范围；
（4）由（3）可以得出0＜tanβ＜ ，△APQ为“好玩三角形”的个数为2就是真命题．