Question

【题目】如图,四边形ABCD为矩形,△ACE为AC为底的等腰直角三角形,连接BE交AD、AC分别于F. N,CM平分∠ACB交BN于M,下列结论：(1)BE⊥ED;(2)AB=AF;(3)EM=EA;(4)AM平分∠BAC，其中正确的结论有( )

A. 1个B. 2个

C. 3个D. 4个

Answer 1

【答案】B

【解析】

连接DE，由∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，根据圆周角定理的推论得到点A、B、C、D、E都在以AC为直径的圆上，再利用矩形的性质可得AE=ME，即①正确；再根据圆周角定理得到∠AEB=∠ACB，∠DAC=∠CED，∠EAD=∠ECD，易证△AEF≌△CED，即可得到AB=AF，即②正确；由②得到∠ABF=∠AFB=45°，求出∠EMC=∠MCB+45°，

而∠ECM=∠NCM+45°，即③正确；根据等腰三角形性质求出∠EAM=∠AME，推出∠EAM=45°+∠MAN，∠AME=45°+∠BAM，即可判断（4）．

连接DE.

∵四边形ABCD为矩形,△ACE为AC为底的等腰直角三角形,

∴∠ABC=∠AEC=∠ADC=90°，AB=CD，AD=BC，

∴点A. B. C. D. E都在以AC为直径的圆上，

∵AB=CD，

∴弧AB=弧CD，

∴∠AEB=∠CED，

∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠BEC+∠AEB=90°，

∴BE⊥ED,故(1)正确；

∵点A. B. C. D. E都在以AC为直径的圆上，

∴∠AEF=∠CED，∠EAF=∠ECD，

又∵△ACE为等腰直角三角形，

∴AE=CE，

在△AEF和CED中，

，

∴△AEF≌△CED，

∴AF=CD，

而CD=AB，

∴AB=AF,即(2)正确；

∴∠ABF=∠AFB=45°，

∴∠EMC=∠MCB+45°，

而∠ECM=∠NCM+45°，

∵CM平分∠ACB交BN于M，

∴∠EMC=∠ECM，

∴EC=EM，

∴EM=EA,即(3)正确；

∵AB=AF,∠BAD=90°，EM=EA，

∴∠ABF=∠CBF=45°，∠EAM=∠AME，

∵△AEC是等腰直角三角形，

∴∠EAC=45°，

∴∠EAM=45°+∠MAN,∠AME=∠ABM+∠BAM=45°+∠BAM，

∴∠BAM=∠NAM,∴(4)正确；

故选D.