Question

【题目】如图，已知直角坐标系中，A、B、D三点的坐标分别为A（8，0），B（0，4），D（﹣1，0），点C与点B关于x轴对称，连接AB、AC．

（1）求过A、B、D三点的抛物线的解析式；

（2）有一动点E从原点O出发，以每秒2个单位的速度向右运动，过点E作x轴的垂线，交抛物线于点P，交线段CA于点M，连接PA、PB，设点E运动的时间为t（0＜t＜4）秒，求四边形PBCA的面积S与t的函数关系式，并求出四边形PBCA的最大面积；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点H，使得△ABH是直角三角形？若存在，请直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=﹣8t2+32t+32，当t=2时，S有最大值，且最大值为64；（3）H（，11），（， ）．

【解析】试题分析：（1）由于A（8，0），D（﹣1，0），故设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣8），将B（0，4）代入即可求得a，进而求得抛物线的解析式为；

（2）四边形PBCA可看作△ABC、△PBA两部分；△ABC的面积是定值，关键是求出△PBA的面积表达式；若设直线l与直线AB的交点为Q，先用t表示出线段PQ的长，而△PAB的面积可由（PQOA）求得，在求出S、t的函数关系式后，由函数的性质可求得S的最大值；

（3）根据已知条件得到∠HAB＜90°，①当∠ABH=90°时，求得直线AB：y=﹣x+4，直线BH：y=2x+4，于是得到H（，11），②当∠AHB=90°时，过B作BN⊥对称轴于N，则BN=，AG=，设对称轴交x轴于G，根据相似三角形的性质得到HN=（负值舍去），于是得到H（， ）．

（1）∵A（8，0），D（﹣1，0），设过A、B、D三点的抛物线的解析式为y=a（x+1）（x﹣8），将B（0，4）代入得﹣8a=4，∴a=﹣，∴抛物线的解析式为，即 ；

（2）△ABC中，AB=AC，AO⊥BC，则OB=OC=4，∴C（0，﹣4）．由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣x+4；依题意，知：OE=2t，即 E（2t，0）；∴P（2t，﹣2t2+7t+4）、Q（2t，﹣t+4），PQ=（﹣2t2+7t+4）﹣（﹣t+4）=﹣2t2+8t；S=S△ABC+S△PAB=×8×8+×（﹣2t2+8t）×8=﹣8t2+32t+32=﹣8（t﹣2）2+64；∴当t=2时，S有最大值，且最大值为64；

（3）存在，∵抛物线的对称轴为：x==，∵直线x=垂直x轴，∴∠HAB＜90°，①当∠ABH=90°时，由A（8，0）、B（0，4），得：直线AB：y=﹣x+4，所以，直线BH可设为：y=2x+h，代入B（0，4），得：h=4，∴直线BH：y=2x+4，当x=时，y=11，∴H（，11），②当∠AHB=90°时，过B作BN⊥对称轴于N，则BN=，AG=，设对称轴交x轴于G，∵∠AHG=∠HBN=90°﹣∠BHN，∠BNH=∠AGH=90°，∴△AHG∽△BHN，∴，∴，∴HN（HN+4）=，∴4（HN）2+16HN﹣63=0，解得：HN=（负值舍去），∴H（， ），综上所述，H（，11），（， ）．