Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2+（k﹣5）x+1﹣k=0，其中k为常数．
（1）求证：无论k为何值，方程总有两个不相等实数根；
（2）已知函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，求k的取值范围；
（3）若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△=（k﹣5）2﹣4（1﹣k）=k2﹣6k+21=（k﹣3）2+12＞0，
∴无论k为何值，方程总有两个不相等实数根
（2）解：∵二次函数y=x2+（k﹣5）x+1﹣k的图象不经过第三象限，
∵二次项系数a=1，
∴抛物线开口方向向上，
∵△=（k﹣3）2+12＞0，
∴抛物线与x轴有两个交点，
设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1 ， x2 ，
∴x1+x2=5﹣k＞0，x1x2=1﹣k≥0，
解得k≤1，
即k的取值范围是k≤1
（3）解：设方程的两个根分别是x1 ， x2 ，
根据题意，得（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，
即x1x2﹣3（x1+x2）+9＜0，
又x1+x2=5﹣k，x1x2=1﹣k，
代入得，1﹣k﹣3（5﹣k）+9＜0，
解得k＜ ．
则k的最大整数值为2
【解析】 （1）先计算b2-4ac，再将b2-4ac的值转化为一个的代数式的平方加上一个正数，即可证出结论。
（2）根据此抛物线的图像不经过第三象限，而抛物线与x轴必有两个交点，可知抛物线的顶点在x轴的下方（第四象限）且图像经过第一、二、四象限，根据二次项的系数可知抛物线开口向上，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1 ， x2 ， 根据x1+x2＞0，x1x2≥0，建立关于k的不等式组，求解即可。
（3）设方程的两个根分别是x1 ， x2 ， 根据已知原方程的一个根大于3，另一个根小于3，建立不等式（x1﹣3）（x2﹣3）＜0，，再将不等式转化为含有x1x2和x1+x2的式子，再利用根与系数的关系，建立关于k的不等式，求解即可。